不用洛必达法则证明sin x比上x的极限是1

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我们知道用洛必达法则很容易证明

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1.$$

那如果不用洛必达法则怎么证呢?

 

水煮鱼   2017-02-13 15:07



   3个回答 
4

sinx 和 x 的图像在无限接近0的地方斜率都是1 ,在0附近放大很多倍之后sinx和x图像几乎重合。

近似看成sinx=x,所以极限就是1了咯。虽然不是很严谨,但是够直观了吧233。


zyayoung   2018-02-22 10:54

666! - yayat   2018-02-22 11:00
2

泰勒展开吧

$$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

$$\frac{\sin x}{x }= 1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots=1+O(x^2)$$

所以当$x\rightarrow 0$,$\frac{\sin x}{x}\rightarrow 1$。


strong.man   2018-04-12 12:13

1

泰勒展开

xwemin   2018-02-23 16:43



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