对称的实数矩阵的所有特征值都是实数吗

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假设有一个对称矩阵,它的元素都是实数,那这个矩阵的所有特征值都是实数吗?有没有可能是虚数?

 

word哥   2017-02-15 13:04



   1个回答 
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特征值必须是实数,不可能是虚数。


证明如下:

假设$(v,\lambda)$是矩阵$A$的特征对,也就是$Av=\lambda v$。

然后我们对上式两边同时取共轭,得$\overline{Av}=\overline{\lambda v}$,也就是$\bar{A} \bar{v}=\bar{\lambda} \bar{v}$。

因为$A$是实矩阵,所以$A$的共轭就是$A$本身,$A \bar{v}=\bar{\lambda} \bar{v}$。

接着对上式两边同时取转置,可得$\bar{v}^TA^T=\bar{\lambda} \bar{v}^T$。

又因为$A$是对称的,也就是$A=A^T$,所以,$\bar{v}^TA=\bar{\lambda} \bar{v}^T$。

最后,用特征向量$v$右乘等式两边,可得$\bar{v}^TAv=\bar{\lambda} \bar{v}^Tv$,也就是$\lambda\bar{v}^Tv=\bar{\lambda}\bar{v}^Tv$。因为特征向量不能是零向量,所以$\bar{v}^Tv\neq 0$,所以$\lambda = \bar{\lambda}$,所以所有特征值必须为实数。

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起个好名字   2017-02-16 10:37



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