矩阵A乘以B的秩等于B乘以A的秩吗

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假设两个矩阵A和B,那么rank(AB)和rank(BA)一定相等吗?

 

小齐   2017-02-15 23:24



   1个回答 
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  • 它们的秩未必相等。

如果$A$和$B$都是方阵,$A$是可逆的,那么$Rank(AB)=Rank(BA)$。

当然还有很多情况,它们的秩是不等的,比如说矩阵

$$ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{matrix} \right] $$

$$ B = \left[ \begin{matrix} -1 & -1\\ 0 & -1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} \right] $$

做一做乘法,我们可以发现

$$ AB = \left[ \begin{matrix} 0 & 0\\ 0 & 0\\ \end{matrix} \right] $$

然而

$$ BA = \left[ \begin{matrix} -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 1& 1& 1\\ \end{matrix} \right]$$

很明显,$Rank(AB)=0\neq Rank(BA)=1$。


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MrMath   2017-02-16 08:54



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