假设两个矩阵A和B,那么rank(AB)和rank(BA)一定相等吗?
1个回答
- 它们的秩未必相等。
如果$A$和$B$都是方阵,$A$是可逆的,那么$Rank(AB)=Rank(BA)$。
当然还有很多情况,它们的秩是不等的,比如说矩阵
$$ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{matrix} \right] $$
$$ B = \left[ \begin{matrix} -1 & -1\\ 0 & -1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} \right] $$
做一做乘法,我们可以发现
$$ AB = \left[ \begin{matrix} 0 & 0\\ 0 & 0\\ \end{matrix} \right] $$
然而
$$ BA = \left[ \begin{matrix} -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 1& 1& 1\\ \end{matrix} \right]$$
很明显,$Rank(AB)=0\neq Rank(BA)=1$。
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