两个线性空间的并集一定是一个线性空间吗

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比如说我们有两个线性空间$A$和$B$,那么它们的并集$A\cup B$也一定是个线性空间吗?

 

bigbear   2017-02-17 11:38



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不一定的。举个反例就可以说明。

假设$A=\{(x,0)|\forall x \in\mathbb{R}\}$,$B=\{(y,0)|\forall y \in\mathbb{R}\}$。也就是说,$A$是平面坐标系中的$x$轴上的任意点组成的集合,$B$是平面坐标系中的$y$轴上任意点组成的集合。那么,$A\cup B$就是$x$轴和$y$轴上所有点的集合。

显然$A$和$B$都线性空间。假如$A\cup B$也是线性空间,那么对于任意的$a,b\in A\cup B$,$a+b$应该依然是$A\cup B$中的元素。我们可以取$a=(1,0)\in A$,$b=(0,1)\in B$,显然$a,b\in A\cup B$,但是$a+b=(1,1)\notin A\cup B$。这违背了线性空间的定义。所以两个线性空间的并集未必是线性空间。


沛县李刚   2017-02-20 00:27



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