两个线性空间的并集一定是一个线性空间吗-SofaSofa

比如说我们有两个线性空间$A$和$B$，那么它们的并集$A\cup B$也一定是个线性空间吗？

bigbear 2017-02-17 11:38

1个回答

不一定的。举个反例就可以说明。

假设$A=\{(x,0)|\forall x \in\mathbb{R}\}$，$B=\{(y,0)|\forall y \in\mathbb{R}\}$。也就是说，$A$是平面坐标系中的$x$轴上的任意点组成的集合，$B$是平面坐标系中的$y$轴上任意点组成的集合。那么，$A\cup B$就是$x$轴和$y$轴上所有点的集合。

显然$A$和$B$都线性空间。假如$A\cup B$也是线性空间，那么对于任意的$a,b\in A\cup B$，$a+b$应该依然是$A\cup B$中的元素。我们可以取$a=(1,0)\in A$，$b=(0,1)\in B$，显然$a,b\in A\cup B$，但是$a+b=(1,1)\notin A\cup B$。这违背了线性空间的定义。所以两个线性空间的并集未必是线性空间。

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沛县李刚 2017-02-20 00:27

两个线性空间的并集一定是一个线性空间吗

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