两个独立的正态随机变量的乘积服从什么分布?

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我们都知道正态随机变量的平方是卡方分布。受这个这个问题启发(两个独立的标准正态分布随机变量的商服从柯西分布),那么两个独立的标准正态分布随机的变量的乘积服从什么分布呢?

 

MeganC   2017-03-22 11:49



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$X\sim N(0,1)$,$Y\sim N(0,1)$并且$X$和$Y$独立。要确定它们的乘积$XY$的概率分布,我们可以通过正态分布的密度函数来计算出$XY$的密度函数。

\begin{eqnarray*}f_{XY}(z)&=&\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\frac{e^{-y^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\delta(xy-z)dxdy\\&=&\frac{K_0(|z|)}{\pi}\end{eqnarray*}

这个$K_0(z)$是第二类修正贝塞尔函数。以上是正规解法,具体可参考本链接

以下是粗暴解法,我们可以直接做similation看看。下图是根据10000个点描绘出来的概率密度曲线。


其实,我们还有另外一种聪明的方式来理解$XY$的分布。

$$XY = \frac{(X+Y)^2 - X^2 - Y^2}{2}.$$

$X$和$Y$都是正态分布,所以$X+Y$是正态分布。所以可见$XY$其实是一个卡方分布减去两个卡方分布的结果。

雷猴   2017-03-24 12:30



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