概率论中的鞅是什么?

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概率论里的鞅是什么?不管从字面还是定义,我都觉得好抽象,看不明白。

 

Gakki   2017-03-23 13:10



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鞅是一种特殊的随机过程。另外一个著名的随机过程马尔可夫链的特点是无记忆性,鞅的特点是公平性。鞅的英文是martingale,原意是骑马的缰绳,有一种“控制平衡、公平”的意思。

鞅的数学定义是,对于所有$n$,都满足

\begin{eqnarray*}&&\text{E}(|X_n|)\lt\infty\\&&\text{E}(X_{n+1}|X_1,X_2,\cdots,X_n)=X_n.\end{eqnarray*}

这个意思是说已知之前所有事件的观测值,下一次观测值的条件期望等于当前的观测值。


举个例子,一个爬虫从实数轴的原点出发,每天以0.5的概率向前爬1,0.5概率向后爬1,$X_n$是第$n$天后爬虫的坐标。显然$X_1,X_2,\cdots$这就是一个鞅,因为不管爬虫今天的坐标是什么,明天的期望坐标就是今天的坐标。

但是如果向前爬的概率是0.8,向后爬的概率是0.2,那么这个就不是鞅了,因为明天的期望坐标总是大于今天的坐标的。这也就是为什么说,鞅是个公平的随机过程。

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高代兄   2017-03-26 09:18

很清楚!谢谢! - Gakki   2017-03-28 11:39


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