扑克牌中的一个概率题

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假设有一副被打乱的扑克牌,52张,其中13张黑桃,一个人从这副牌里随机的抽牌,每次抽一张,并且不放回,假设在第X次抽牌的时候,第一次抽到黑桃。请问X的数学期望是多少

 

ZackLi   2017-03-31 10:27



   1个回答 
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这个题目应该有常规解法吧,但是我没想出来。我用的是递推的方法。

假设一共有$k$张牌,其中13张是黑桃,我随机地不放回地抽,在第$X_{k}$的时候,第一次抽到黑桃。

那么显然$\text{E}(X_{13})=1$。因为13张都是黑桃,我们把它们排一列,头一张必须是黑桃。

那么$\text{E}(X_{14})$怎么算呢?相当于在上面13张黑桃的基础上,任意插入一张其他牌。这张牌以$\frac{\text{E}(X_{13})}{14}$的概率插在第一张黑桃的前面,以$1-\frac{\text{E}(X_{13})}{14}$的概率插在第一张黑桃的后面。所以

$$\text{E}(X_{14})=\frac{\text{E}(X_{13})}{14}(\text{E}(X_{13})+1)+\left(1-\frac{\text{E}(X_{13})}{14}\right)\text{E}(X_{13}).$$

那么对于任意的$k$,已知$\text{E}(X_{k})$,怎么计算$\text{E}(X_{k+1})$呢?相当于我们已经排好了$k$张,再插入一张非黑桃的牌,这张牌排在第一张黑桃前面的概率是$\frac{\text{E}(X_{k})}{k+1}$,排在第一张黑桃后面的概率是$1-\frac{\text{E}(X_{k})}{k+1}$,那么

\begin{eqnarray*}\text{E}(X_{k+1})&=&\frac{\text{E}(X_{k})}{k+1}(\text{E}(X_{k})+1)+\left(1-\frac{\text{E}(X_{k})}{k+1}\right)\text{E}(X_{k})\\&=&\frac{k+2}{k+1}\text{E}(X_{k})\end{eqnarray*}

下面,我们就根据上面的递推式子

$$\text{E}(X_{14})=\frac{15}{14}$$

$$\text{E}(X_{15})=\frac{16}{15}\frac{15}{14}=\frac{16}{14}$$

$$\text{E}(X_{16})=\frac{17}{16}\frac{16}{14}=\frac{17}{14}$$

$$\text{E}(X_{17})=\frac{18}{17}\frac{17}{14}=\frac{18}{14}$$

一直到$52$,我们就可以得到

$$\text{E}(X_{52})=\frac{53}{52}\frac{52}{14}=\frac{53}{14}\approx 3.79.$$

所以我们期望在第3.79次第一次抽到黑桃。


高代兄   2017-04-01 12:02

这答案很精妙啊!不过我猜的也是3到4之间的数。 - 山中人   2017-04-23 14:25


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