有序分类变量的相关系数

当然也可以用Pearson $\rho$。

但是针对于有序分类变量，另外一个很适用的叫做Kendall $\tau$，也叫做肯达尔秩相关系数。与皮尔逊系数类似，肯达尔秩相关系数的范围也是-1到1。-1表示完全负相关，1表示完全正相关。公式为

$$\tau=2\frac{有序对的个数-逆序对的个数}{n(n-1)}$$

对于样本$A=\{a_1,a_2,\cdots, a_n\}$与样本$B=\{b_1,b_2,\cdots,b_n\}$。如果存在一对$(i,j)$，当$a_ i \lt a_j $时，$b_i \lt b_j$；或者当$a_i>a_j$时，$b_i\gt b_j$；这样的一对就称作有序对。反过来就是一个逆序对。

比如样本$A=\{1, 3, 5\}$，$B=\{4 , 6, 3\}$

有序对为

$a_1 < a_2$，$b_1 < b_2$

逆序对为

$a_1 < a_3$，$b_1 > b_3$

$a_2 < a_3$，$b_2 > b_3$

所以上面两个数列的Kendall $\tau$为

$$\tau=2\frac{1-2}{3\times2}=-\frac{1}{3}$$

PS，感谢s3040608090发现笔误，现在已经更正。

除了弼码温提到的Kendall $\tau$，另一个也许更常用的是Spearman秩相关系数，也称为Spearman $\rho$。

对于两组样本，先对它们取序。

$A=(1, 2, 5, 3, 7)$，$B=(2, 10, 50, 11, 20)$这两组数，取序之后的结果为

$A'=(1, 2, 4, 3, 5)$，$B'=(1, 2, 5, 3, 4)$，然后再对$A'$和$B'$求正常的皮尔逊相关系数

$$\frac{\text{Cov}(A', B')}{\sigma_{A'}\sigma_{B'}}$$

$A'$和$B'$的皮尔逊相关系数就是$A$和$B$的Spearman秩相关系数。