对于独立正态变量X, Y ~ N(0,1),X+Y和X-Y是否独立?

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假如X和Y独立同分布,服从标准正态分布N(1,0)。

X+Y和X-Y是不相关的,因为它们的协方差是0。

那么X+Y和X-Y是独立的吗?


 

张球球   2017-04-18 08:57



   2个回答 
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是独立的。

两个不相关的变量如果是联合正态分布的,那么就一定是独立的。

或者也可以用矩母函数的方法来证明,只要证明$M_{X+Y,X-Y}(t_1,t_2)=M_{X+Y}(t_1) M_{X-Y}(t_2)$,就可以说明它们是独立的了。


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高代兄   2017-06-15 12:09

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矩母函数的证明可以看这里

还以证明$X+Y,X-Y$都是Gaussian,并且covariance=0。

$X+Y \sim N(0,2)$

$X-Y \sim N(0,2)$

$cov(X+Y,X-Y)=E((X+Y)(X-Y))=E(X^2-Y^2-2XY)$

$=E(X^2)-E(Y^2)-2E(XY)=1-1-0=0$

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Zealing   2019-07-18 12:48

好像这个题目里已经说了“X+Y和X-Y是不相关的,因为它们的协方差是0。”而且不相关和独立不是等价的吧 - vivian_o   2019-07-25 23:32
都是高斯分布时等价。所以先证明它们是高斯的。 - Zealing   2019-07-26 00:28
原来如此,谢谢! - vivian_o   2019-07-26 00:37


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