答案是

$$\frac{2^n n!}{(2n)!}.$$

思路大致如下：

我们是随机按照均匀分布抽取$n$个闭区间的上下界。我们把$n$个区间的下界从小到大排序，也就是$(x_{1,1},x_{1,2}),(x_{2,1},x_{2,2}),\cdots,(x_{n,1},x_{n,2})$，满足$x_{1,1}<x_{2,1}<x_{3,1}<\cdots < x_{n,1}$。

在这种情况下，唯一能够达到所有闭区间不重叠的情况是

$$x_{1,1} < x_{1,2} < x_{2,1} < x_{2,2} < x_{3,1} < x_{3,2} < \cdots < x_{n,1} < x_{n,2}.$$

因为我们只在乎其排序，而且均匀随机抽样。这个问题就等价于从集合$\{1,2,3,\cdots,2n\}$中无放回的抽样。

符合不重叠的唯一可能性是

$$x_{1,1}=1,x_{1,2}=2,x_{2,1}=3,\cdots,x_{n,1}=2n-1,x_{n,2}=2n,$$

而所有的可能性一共有

$$\frac{(2n)!}{2^n n!}.$$

然后就可以得到概率。

我用python验证了下高代兄的答案

import math
import pandas as pd
import numpy as np

n = 3
rounds = 10000
p = 0
for m in range(rounds):
    bounds = pd.DataFrame(columns=['lower_bound', 'upper_bound'])
    for i in range(n):
        bounds.loc[i] = np.sort(np.random.uniform(0, 1, 2))
    bounds.sort_values('lower_bound', inplace=True)
    diff = np.diff(bounds['upper_bound'].values)
    p += np.all(diff <= 0) / float(rounds)
print('simulation', p)
print('true:', ((2 ** n) * math.factorial(n)) / math.factorial(2*n))

得到的结果：

simulation： 0.0675
true: 0.06666666666666667