答案是

$$\frac{2^n n!}{(2n)!}.$$

思路大致如下：

我们是随机按照均匀分布抽取$n$个闭区间的上下界。我们把$n$个区间的下界从小到大排序，也就是$(x_{1,1},x_{1,2}),(x_{2,1},x_{2,2}),\cdots,(x_{n,1},x_{n,2})$，满足$x_{1,1}<x_{2,1}<x_{3,1}<\cdots < x_{n,1}$。

在这种情况下，唯一能够达到所有闭区间不重叠的情况是

$$x_{1,1} < x_{1,2} < x_{2,1} < x_{2,2} < x_{3,1} < x_{3,2} < \cdots < x_{n,1} < x_{n,2}.$$

因为我们只在乎其排序，而且均匀随机抽样。这个问题就等价于从集合$\{1,2,3,\cdots,2n\}$中无放回的抽样。

符合不重叠的唯一可能性是

$$x_{1,1}=1,x_{1,2}=2,x_{2,1}=3,\cdots,x_{n,1}=2n-1,x_{n,2}=2n,$$

而所有的可能性一共有

$$\frac{(2n)!}{2^n n!}.$$

然后就可以得到概率。