一米长的绳子,随机剪两刀,最长的一段有多长?

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一根一米长的绳子,随机剪两刀(“随机”指剪断的位置服从0到1之间的均匀分布),得到三段,最长的那段的长度的期望是多少?


 

panling   2017-10-04 09:20



   2个回答 
7

假设三段的长度从小到大依次为$a$,$a+b$,$a+b+c$,并且满足

$$(a)+(a+b)+(a+b+c)=3a+2b+c=1$$

以及

$$a>0, b\geq 0, c\geq 0.$$

那么可以得到$a\leq \frac{1}{3}$,$b\leq \frac{1}{2}$,$c\leq 1$,不妨可以认为$a\sim U(0, 2k)$,$b\sim U(0, 3k)$,$c\sim U(0, 6k)$。

绳子最长的一段的期望为$k+1.5k+3k=5.5k$

绳子长度的期望为$3k+3k+3k=9k$

因为$9k=1$,所以$5.5k=\frac{11}{18}=0.61111$


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飞翔钉子   2017-12-27 21:02

为什么可以“不妨认为$a\sim U(0,2k)$..等等” - Gakki   2018-07-12 15:49
3

应该是可以有理论解的(可惜我不会)

如果你把这绳子剪一千万次,你会发现最长的那段的均值为0.611左右。

我画了个图,最长那段的长度的分布差不多是这样

众数感觉是在0.5


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TTesT   2017-12-21 10:11



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