多个独立同分布的均匀随机变量的最小值的期望是多少？

假设$X_i\sim U(0,1)$，$i=1,2,\cdots, k$

那么$$F(x)=P(\min(X_i) \leq x)=1-P(\min(X_i)>x)=1-(1-x)^k$$

对$F(x)$求导，得到概率密度函数$$f(x)=k(1-x)^{k-1}.$$

根据期望的定义，进行积分

$$E=\int_{0}^1xf(x)=\int_{0}^1kx(1-x)^{k-1}=k\int^1_0(1-z)z^{k-1}dz=\frac{1}{k+1}$$

1/(n+1)吧

k个独立随机变量服从[0,1]均匀分布，把它们的采样排序后，第i小变量的分布是$Beta(i,k+1-i)$参考这里。而$Beta$分布的均值是$\frac{i}{i+k+1-i}=\frac{i}{k+1}$。所以$i=1$时，最小数的均值为$\frac{1}{k+1}$。