为什么样本方差是除以n-1

首先，我们先看看方差的计算公式

$$\text{Var}(X) = \frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{n}$$

其中$\mu$是这个总体的真实均值。但是往往$\mu$是未知的，所以我们用样本均值$\bar X$来代替$\mu$，也就是

$$S_* = \frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2}{n}$$

那么这个$S_*$是正确的估计吗？我们可以计算$S_*$的期望来对比一下$\text{Var}(X)$。

$$\begin{eqnarray}\mathbb{E}(S_*)&=&\mathbb{E}\left(\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2}{n}\right)\nonumber\\&=&\mathbb{E}\left(\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\mu + \mu -\bar X)^2}{n}\right)\nonumber\\&=&\mathbb{E}\left(\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{n}+\frac{\sum_{i=1}^n2(X_i-\mu)(\mu - \bar X)}{n}+\frac{\sum_{i=1}^n(\mu-\bar X)^2}{n}\right)\nonumber \\&=&\text{Var}(X) + \mathbb{E}\left(\frac{\sum_{i=1}^n2(X_i-\mu)(\mu -\bar X)}{n}+\frac{\sum_{i=1}^n(\mu-\bar X)^2}{n}\right)\nonumber\\&=&\text{Var}(X) + \mathbb{E}\left(-2(\bar X-\mu)^2+(\bar X -\mu)^2\right)\nonumber \\&=&\text{Var}(X) -\mathbb{E}\left((\bar X-\mu)^2\right)\nonumber \\&=&\text{Var}(X) - \text{Var}(\bar X)\nonumber \\ &=&\text{Var}(X) - \frac{1}{n}\text{Var}(X)\nonumber \\ &=&\frac{n-1}{n}\text{Var}(X)\end{eqnarray}$$

所以

$$\text{Var}(X) = \frac{n}{n-1}\mathbb{E}(S_*)=\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)}{n-1}$$

在kidd23公式中$E(S_\star)=Var(X)-Var(\bar{X})$，也就是样本方差$E(S_\star)$等于总体方差$Var(X)$减样本均值的方差$Var(\bar{X})$。这公式说的是：求总体方差时默认条件是知道总体均值$\mu$。如果用样本均值去估计总体均值，对总体方差的估计是有偏差的，偏差是样本均值的方差$Var(\bar{X})$。需要做Bessel's correction去修正偏差，让偏差的期望等于0。

这个是Bessel's Correction

把总体方差的公式乘以$\frac{n}{n-1}$就得到了样本方差

用样本均值代替总体均值，自由度会减1，所以分母是n-1。