怎么从矩母函数(mgf)推导得到概率密度函数(pdf)?

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我想请教一个比较理论的问题。

假设已知了一个矩母函数(moment generating function),怎么根据它再求出概率密度函数(pdf)呢?

它们两者转换有公式吗?

谢谢!

 

MangoCoke   2018-08-04 15:54



   3个回答 
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参考这里

一般是用查,凑出pdf。如果不查表,直接用公式的话:

Moment generating function: $M_x(t)=E(e^{tx})=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f_X(x)dx$

把$t$换成$it$,得到Characteristic function:$\varphi_x(t)=E(e^{itx})=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f_X(x)dx$

再由Inversion formulae $f_X(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}\varphi_x(t)dt$

注意最后一个公式是傅里叶反变换。一般到这步还是查表。

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Zealing   2018-09-28 15:30

3

如果是离散的情况,应该好办,就是求一组线性方程吧。

如果是连续的话,就看你能不能求出每个moment的通项了,然后和一些常用分布的moment进行比较,然后确定分布,然后就有pdf了。

如果是直接公式从mgf到pdf的话,我就不知道了。

期待有人能够回答。

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WinJ   2018-09-28 12:39

2

这是个经典的问题,叫做经典矩问题(Classical Moments Problem)。

对于连续分布,如果只知道有限个矩函数,那么是无法确定概率密度分布的,这时可以考虑最大熵方法来估计这个概率分布。如果想知道细节的话,可以看这篇论文Maximum entropy and the problem of moments: A stable algorithm

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strong.man   2018-11-14 23:27



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