圆环上随机三个点组成一个锐角三角形的概率

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有一个圆环,在圆环上(注意是环上,而不是圆环内)随机的选三个点,然后将它们连起来,组成的三角形正好是锐角三角形的概率是多大?

这个题目怎么做?头条的一道面试题,感觉好难。

 

Robin峰   2018-08-09 12:13



   4个回答 
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假设圆心为原点,$\theta_A=0$,

当$0 < {\theta _B} < \pi \\ $时,$-\pi+\theta_B<\theta_C<\pi$为钝角三角形。


$$\int_0^\pi {\int_{ - (\pi - {\theta _B})}^\pi {p({\theta _C})p({\theta _B})d{\theta _C}} } d{\theta _B}=\frac{1}{4{\pi^2}}\int_0^\pi({2\pi-\theta_B})d\theta_B=\frac{3}{8}$$


当$\pi< {\theta _B} < 2\pi$时,$\pi<\theta_C<3\pi-\theta_B$, 概率也等于3/8。所以最终为钝角三角形的概率为3/4。

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Zealing   2018-08-10 04:14

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假设要组成一个钝角三角形,那么三个点必须在圆心的一侧。

固定第一个点。这样就变成了俩个变量的概率题了。

此时设第二个点落在第一个点为0°,落在第一个点对面为180°。设第二个点落在θ的位置。经过画图验证,第三个点可以组成钝角三角形的可行范围是(360°-θ)。

计算面积得到0.75的概率。

所以锐角三角形是0.25。

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nobodyoo1   2018-08-09 20:45

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假设圆周的总长度为1,并且A点是固定的,从A点顺时针方向的第一个点为B,第二个点为C。

假设圆弧长度$AB=x_1$,圆弧长度$AC=x_2$,为了使得$ABC$为一个锐角三角形,我们需要

$$x_1\in (0, 0.5),~~x_2 \in (0.5, 0.5+x_1)$$

那么A、B、C能构成锐角的概率为

$$\int_{0}^{1/2}1\int_{1/2}^{x_1+1/2}1dx_2dx_1=\int_0^{1/2}x_1dx_1=\frac{1}{4}$$

钝角的概率就是0.75


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感谢Zealing的指正!答案已修正。

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mrhust   2018-08-27 10:43

有点问题。比如$x_1=0.01$,$x_2=0.02$时满足积分的条件,但是$B$,$C$在同一半圆,是钝角三角形。 我觉得是:当$A$在坐标$[1,0]$时,$B$在下半圆,$0<B<1/2$,$C$在上半圆,$1/2<C<1$。此时积分也是$1/4$。 - Zealing   2018-08-27 11:24
多谢指正,已经修改答案 - mrhust   2018-08-27 11:35
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最近刚好在一个网站上看到过

第一种思路是考虑三个点组成钝角三角形的概率。分为三种情况: 顺时针方向第一个是A且B, C均距离A不超过一个半圆的概率,两个概率都是恰好1/2所以总概率1/4.然后再考虑顺时针方向第一个是B,概率也是1/4;顺时针方向第一个是C,概率也是1/4。故总概率为3/4。

另一种做法更加巧妙,但不太容易描述清楚。

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baolidakai   2018-08-13 18:39



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