如何生成两个相关的标准正态随机变量

先生成两个标准差为1的独立随机变量的采样$z_1,z_2$，假如要求的协方差为$\rho$，则相关的随机变量的采样$x_1=z_1$,$x_2=\rho z_1+\sqrt{1-\rho^2}z_2$。需要注意此时每个变量的标准差为1，也就是协方差矩阵的对角线都是1，此时两变量间的协方差等于相关系数。

扩展到生成N维相关随机变量$X~ \sim N(\mu,\Sigma)$,先生成N维独立随机变量$Z$，假设$CC^T=\Sigma$，则$X=\mu+CZ$。$C$可以由 Cholesky decomposition生成。

比如$N=2$时，$C=\begin{bmatrix} 1& 0 \\  \rho & \sqrt{1-\rho^2} \end{bmatrix}$

$CC^T=\begin{bmatrix} 1& \rho \\ \rho & 1 \end{bmatrix}$

import numpy as np
mean = [0, 0]
cov = [[1, 0], [0, 100]] 
x, y = np.random.multivariate_normal(mean, cov, 5000).T