假设有一个公平的硬币,一个人不停抛掷硬币直到连续3次出现正面,此时抛硬币的次数的期望是多少?
2个回答
提供两种解法:
1. 根据 http://sofasofa.io/forum_main_post.php?postid=1001963 的思路,得到公式
$(1-p)(x+1)+p(1-p)(x+2)+p^2(1-p)(x+3)+3p^3=x$
由 $p=1/2$ 得,$x=14$。
2. 根据 http://www.aquatutoring.org/ExpectedValueMarkovChains.pdf 的 Example 7 可直接得期望为 14。
SofaSofa数据科学社区DS面试题库 DS面经令正面为H,背面为T
有4个状态,S1是开始或抛出反面(begin/T),S2是一个正面(H),S3:是连续抛出两个正面(HH),S4是连续抛出3个正面并结束(HHH)。
初始状态$x_0=[1,0,0,0]$,状态转移矩阵是
$$P=\begin{bmatrix}0.5 & 0.5 & 0 & 0\\0.5 & 0 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0 & 0.5\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
$x_{t+1}=x_{t} P$
根据Markov Chain hitting time公式 定理1.3.5
$K_i^A $是状态i到状态A的步数的期望
$K_1^4 = 1 + \sum\limits_{j = 1,2,3} {{P_{1j}}K_j^4} =1+0.5K_1^4+0.5K_2^4$
$K_2^4 = 1 + \sum\limits_{j = 1,2,3} {{P_{2j}}K_j^4} =1+0.5K_1^4+0.5K_3^4$
$K_3^4 = 1 + \sum\limits_{j = 1,2,3} {{P_{3j}}K_j^4} =1+0.5K_1^4$
有$K_1^4=1+0.5K_1^4+0.5(1+0.5K_1^4+0.5(1+0.5K_1^4)$
最后$K_1^4=14$
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