鞍点的数学定义是什么？

鞍点的梯度为0，各方向上二阶偏导的正负性不一致

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比如函数$f(x,y)=x^2-y^2$

梯度

$$\text{grad}_f (x,y)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x \\ -2y\end{pmatrix}$$

在$(0,0)$处，梯度是零向量。

在$(0,0)$二阶偏导

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=2$$

在$x$方向上大于0，说明是在$x$方向上极小值点

$$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-2$$

在$y$方向上小于0，说明在$y$方向上是极大值点；两者不一致，所以$(0,0)$是鞍点

一个鞍点(saddle point)

首先，必须是驻点，也就是函数的导数（梯度）为0的点

其次，不能是极大值或者极小值点

大家常见的是马鞍图，其实更简单的一个例子是$f(x)=x^3$上的$0$点，也是鞍点。