轮流射击先中枪的概率题

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面试中遇到的一道概率题:

假设有一支手枪,每次按下扳机,有 50% 的概率射出子弹; 现甲和乙轮流使用该枪向对方射击,直到有人中弹为止。 如果甲先射击,乙先中弹的概率?

 

有为青年   2019-02-23 10:52



   2个回答 
7

有个取巧的解法。假设甲先开枪,乙中弹总概率为$p$。有0.5概率第一枪没中,这时甲乙相当于互换位置,乙先开枪,甲有$p$概率中弹。

$p+0.5p=1$,  $p=2/3$

-------------------

等比级数$\sum_{i=1}^{\infty}(0.5^i)=1$,令奇数项和为 $p$,则偶数项和为$0.5p$,$p+0.5p=1$, $p=2/3$

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Zealing   2019-02-23 13:34

这个是高手 - 子京   2019-02-23 13:39
谢谢 - 有为青年   2019-02-23 13:44
厉害厉害 - CE_PAUL   2019-02-24 22:31
3

我们直接列举出乙先中弹的情况:

1. 乙中

2. 乙不中、甲不中、乙中

3. 乙不中、甲不中、乙不中、甲不中、乙中

4. 乙不中、甲不中、乙不中、甲不中、乙不中、甲不中、乙中

5. 乙不中、甲不中、乙不中、甲不中、乙不中、甲不中、乙不中、甲不中、乙中

...省略...

第一种情况发生的概率为:$P_1=0.5$

第二种情况发生的概率为:$P_2=0.5^3$

第三种情况发生的概率为:$P_3=0.5^5$

...省略...

把所有情况的概率加起来

$$P=\sum_{i=1}^\infty P_i=2\sum_{i=1}^\infty 0.25^i=\frac{0.5}{1-0.25}=\frac{2}{3}$$

乙先中弹的概率为$2/3$,甲先中弹的概率$1-2/3=1/3$

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子京   2019-02-23 13:15



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