求期望

  数学 概率论 随机过程    浏览次数:212        分享
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设$X_0=1$,$X_1$服从$[0, X_0]$的均匀分布,$X_2$服从$[0, X_1]$的均匀分布,如此类推,$X_i$服从$[0, X_{i-1}]$的均匀分布。那么给定常数$a$,满足$X_n \lt a \lt X_{n-1}$,请问$n$的期望是多少?

 

AlloAllo   2019-07-25 15:23



   1个回答 
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没有什么思路,只能解一个简单的情况,假如$X$不是随机的,是固定的在每个区间的中间,$X_1=2^{-1}, X_2=2^{-2}, X_n=2^{-n}$,那么对于给定的$a$,$n$的值也是可以确定的,等于

$$\lfloor 1-\log_2^a\rfloor$$

但问题就是这里的$X$都是随机的,所以我就只能用代码试试了

def GetN(a):
    result = 0
    for i in range(100000):
        x = [1]
        while a < x[-1]:
            x.append(np.random.uniform(0, x[-1]))
        result += ((len(x) - 1) / 100000)
    return result
a = np.linspace(0.02, 0.98, 49)
expN = [GetN(i) for i in a]

下图横轴是$a$,纵轴是$n$。蓝色的线是模拟的结果,绿色是按照固定X计算的结果。感觉差不了太多。


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我小宋   2019-09-10 09:55



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