通过SVD分解已经可以得到AX=Y解的稳定性的度量为什么还需要定义条件数来说明？

奇异值的相对大小比绝对大小更重要，矩阵条件数（condition number）更反映系统矩阵$A$的性质。举例说明：

线性方程$Ax+\epsilon=y$，$\epsilon$是高斯白噪声，在任意单位向量上投影后能量（方差）为1。

1. 当$\sigma_1\approx \sigma_N$且都很小，只要$|U_N^Ty|>|U_N^T\epsilon|$，也就是在最小分量上，信号$y$的能量比噪声$\epsilon$的能量大，信噪比大，$1/\sigma_N$也主要是放大信号。如果$|U_1^Ty|<|U_1^T\epsilon|$，说明信噪比太小。情况只能在生成信号时，放大信号$Ax$或降低噪音，提升整体信噪比。所以奇异值绝对值都很小的问题主要在生成信号时解决，很难在后期处理时解决，并且和$A$的特征无关。

2. 当$\sigma_1>> \sigma_N$，假设$\epsilon$是高斯白噪声，$|U_i^T\epsilon|=1$。此时$|U_N^T\epsilon|/\sigma_N >> |U_1^T\epsilon|/\sigma_1$，也就是噪声在最小分量上放大太多，如果$x$是图像的话会显示为有错误（artifact）而不是噪声。人眼是低通系统，会过滤一定的噪声，但是会认为artifact是真实的图像，所以这种危害比纯粹噪声更大。一般办法是加正则项，降低条件数，相对减小最小分量的放大系数。也可以认为最小分量上的信噪比小，可信度低，所以不能放大太多。