均匀分布的上限的最大似然估计

似然函数

\begin{eqnarray*}&&L(\theta|x_1=0.32,x_2=0.12,x_3=0.81,\cdots,x_{10}=0.44)\\&=&P(x_1=0.32|X=\theta)P(x_2=0.12|X=\theta)\times\cdots\times P(x_{10}=0.44|X=\theta)\\&=&\frac{1}{\theta^{10}}\end{eqnarray*}

显然$\theta$越小，似然函数越大。$\theta$必须大于样本中的最大数。所以这个均匀分布的上界$X$的最大似然估计就是这个样本中的最大值1.72。

X的最大似然估计是最大值。但是最大似然太激进了，只用了一个sample，并不是统计意义上的估计。因为均匀分布是对称的，两个参数0和X应该有相同的统计意义，比如所有samples到这两点的L1distance的和相等，所得到的X是均值的两倍。为了防止xi>X,最后X=Max(2E(x),max(x)).