均匀分布的上限的最大似然估计

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问题是这样滴,假定有一个均匀分布U(0,X),但是X未知。

现在我从这个分布U(0,X)中随机抽出十个数,分别为0.32, 0.12, 0.81, 1.72, 0.64, 1.19, 1.37, 1.60, 1.04, 0.44。

求X的最大似然估计。

 

阿诺666   2017-03-08 11:22



   2个回答 
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似然函数

\begin{eqnarray*}&&L(\theta|x_1=0.32,x_2=0.12,x_3=0.81,\cdots,x_{10}=0.44)\\&=&P(x_1=0.32|X=\theta)P(x_2=0.12|X=\theta)\times\cdots\times P(x_{10}=0.44|X=\theta)\\&=&\frac{1}{\theta^{10}}\end{eqnarray*}

显然$\theta$越小,似然函数越大。$\theta$必须大于样本中的最大数。所以这个均匀分布的上界$X$的最大似然估计就是这个样本中的最大值1.72。

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道画师   2017-03-16 11:10

那么说,只跟最大的那个数相关?其他信息都用不上了? - 阿诺666   2017-03-19 10:02
对的,因为这里已经给定是均匀分布,所以最大似然估计就是最大的那个数。当然,这里用最大似然估计来估计X是非常保守的,因为X至少是最大的那个数。如果没有限制地进行估计的话,我可能会用样本平均值的两倍或者中位数的两倍作为估计值。 - KingBug   2017-03-19 10:09
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X的最大似然估计是最大值。但是最大似然太激进了,只用了一个sample,并不是统计意义上的估计。因为均匀分布是对称的,两个参数0和X应该有相同的统计意义,比如所有samples到这两点的L1distance的和相等,所得到的X是均值的两倍。为了防止xi>X,最后X=Max(2E(x),max(x)).

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Zealing   2019-02-03 04:40

$X=Max(2\text{Mean}(x),max(x), 2\text{Median}(x))$也许更好点 - 何立诚   2019-02-03 11:27
均匀分布是location-scale的分布,$Median(x)$可以作为中心点(location)的估计,$Median(x)-0$作为scale的估计。所以$X=2Mean(x)$和$X=2Median(x)$建立在不同的统计前提上,最好不要混一起。当然取它们的最大值也可以,关键要能自圆其说。 - Zealing   2019-02-04 00:29


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