为什么自然常数e等于阶乘的倒数的和？

根据泰勒展开公式，

$$f(x)=f(x_0)+\frac{(x-x_0)}{1!}f'(x_0)+\frac{(x-x_0)^2}{2!}f''(x_0)+\frac{(x-x_0)^3}{3!}f'''(x_0)+\cdots$$

针对$e^x$在$x_0=0$处展开

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

如果$x=1$，那么

$$e=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots$$

所以自然常数就是自然数阶乘的倒数的和。

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也可以用Python验证一下

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use('seaborn')

approx = [1]
for i in range(1, 10):
    approx += [approx[-1] + 1/np.math.factorial(i)]

plt.plot(range(10), [np.math.e] * 10, label='e')
plt.plot(range(10), approx, marker='s', label='approximation')
plt.legend(fontsize=15)
plt.show()

图像如下

可以看出当加到$1/6!$的时候，两者就已经很接近了