非方阵的逆是什么

非方矩不存在逆，但是有广义逆或者说伪逆。

对于一个矩阵$A$，如果存在一个矩阵$B$使得

$$ABA=A, ~BAB=B, ~(AB)^T=AB, ~(BA)^T=BA$$

那么我们就称$B$为广义逆。

满足上面四个式子的广义逆其实是唯一的。假设$A$有以下奇异分解

$$A=U\begin{pmatrix}\Sigma & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}V^T,$$

其中$\Sigma$是对角阵，对角元素为奇异值。那么$A$的广义逆$B$就可以写成

$$B=V\begin{pmatrix}\Sigma^{-1} & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}U^T$$

如果A是列满秩就存在左逆元

如果A是行满秩就存在右逆元

两个存在都不是唯一的

如果A既存在左逆元又存在右逆元 那这个矩阵就是方阵，

并且左逆元=右逆=矩阵的逆。

如果既不是列满秩也不是行满秩就可以求广义逆。