一个非正方形的矩阵也有逆吗？
2个回答
非方矩不存在逆，但是有广义逆或者说伪逆。
对于一个矩阵$A$，如果存在一个矩阵$B$使得
$$ABA=A, ~BAB=B, ~(AB)^T=AB, ~(BA)^T=BA$$
那么我们就称$B$为广义逆。
满足上面四个式子的广义逆其实是唯一的。假设$A$有以下奇异分解
$$A=U\begin{pmatrix}\Sigma & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}V^T,$$
其中$\Sigma$是对角阵，对角元素为奇异值。那么$A$的广义逆$B$就可以写成
$$B=V\begin{pmatrix}\Sigma^{-1} & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}U^T$$
MrMath
2017-10-12 13:37
如果A是列满秩就存在左逆元
如果A是行满秩就存在右逆元
两个存在都不是唯一的
如果A既存在左逆元又存在右逆元 那这个矩阵就是方阵，
并且左逆元=右逆=矩阵的逆。
如果既不是列满秩也不是行满秩就可以求广义逆。
xiaoxiao
2017-10-12 13:26
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