我自学看书上提到了一句，即使两个变量的相关系数是零也不能说明它们是独立的。请问有没有这样的例子？谢谢！
2个回答
假设$X$是个随机变量服从标准正态分布，另一个随机变量$Y$满足$Y=X^2$，那么它们的协方差
$$\text{cov}(X,Y)=\text{E}(XY)-\text{E}(X)\text{E}(Y)=\text{E}(X^3)-\text{E}(X)\text{E}(X^2)=0-0\times\text{E}(X^2)=0$$
协方差为0，说明$X$和$Y$不相关。但是显然$X$和$Y$不独立。
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KingBug
2017-03-04 11:21
这样的例子其实不少，相关系数其实描述的是两个变量的线性相关性。如果线性关系强，相关系数的绝对值就大；线性关系弱，相关系数就少，甚至为0。
一个简单的例子是，$X\in [-1, 1]$，$Y=|X|$，显然$X$和$Y$的相关系数为0，但是又显然不是独立的。类似地，可以得到很多这样的例子，比如$X\in[-1, 1]$，$Y=X^m$，$m$是任意一个偶数。
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u_u
2018-09-13 07:27
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