我自学看书上提到了一句,即使两个变量的相关系数是零也不能说明它们是独立的。请问有没有这样的例子?谢谢!
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假设$X$是个随机变量服从标准正态分布,另一个随机变量$Y$满足$Y=X^2$,那么它们的协方差
$$\text{cov}(X,Y)=\text{E}(XY)-\text{E}(X)\text{E}(Y)=\text{E}(X^3)-\text{E}(X)\text{E}(X^2)=0-0\times\text{E}(X^2)=0$$
协方差为0,说明$X$和$Y$不相关。但是显然$X$和$Y$不独立。
SofaSofa数据科学社区DS面试题库 DS面经这样的例子其实不少,相关系数其实描述的是两个变量的线性相关性。如果线性关系强,相关系数的绝对值就大;线性关系弱,相关系数就少,甚至为0。
一个简单的例子是,$X\in [-1, 1]$,$Y=|X|$,显然$X$和$Y$的相关系数为0,但是又显然不是独立的。类似地,可以得到很多这样的例子,比如$X\in[-1, 1]$,$Y=X^m$,$m$是任意一个偶数。
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