两个变量不相关但是也不独立

假设$X$是个随机变量服从标准正态分布，另一个随机变量$Y$满足$Y=X^2$，那么它们的协方差

$$\text{cov}(X,Y)=\text{E}(XY)-\text{E}(X)\text{E}(Y)=\text{E}(X^3)-\text{E}(X)\text{E}(X^2)=0-0\times\text{E}(X^2)=0$$

协方差为0，说明$X$和$Y$不相关。但是显然$X$和$Y$不独立。

这样的例子其实不少，相关系数其实描述的是两个变量的线性相关性。如果线性关系强，相关系数的绝对值就大；线性关系弱，相关系数就少，甚至为0。

一个简单的例子是，$X\in [-1, 1]$，$Y=|X|$，显然$X$和$Y$的相关系数为0，但是又显然不是独立的。类似地，可以得到很多这样的例子，比如$X\in[-1, 1]$，$Y=X^m$，$m$是任意一个偶数。