协方差矩阵一定是半正定的吗?

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协方差矩阵一定是半正定的吗?

 

一棵海草   2019-01-24 11:56



   2个回答 
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协方差矩阵的定义为

$$\Sigma = \text{E}((X-\mu)(X-\mu)^T)$$

显然$\Sigma$是对称的,下面只要证明对于任意的非零向量$u$,

$$u\Sigma u^T\geq 0$$

把上面的定义代入,

$$u\Sigma u^T=u\text{E}((X-\mu)(X-\mu)^T)u^T=\text{E}((u(X-\mu))((u(X-\mu))^T))=\text{E}((u(X-\mu))^2)\geq 0$$

一个数的平方的期望当然是非负的

所以协方差是半正定


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Marvin_THU   2019-02-03 13:48

明白了,多谢 - 一棵海草   2019-02-08 23:03
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首先协方差矩阵是对称矩阵。即A = A   

所以XTAX 展开之后的形式是平方和形式,是大于等于0的,所以协方差矩阵是半正定的。

SofaSofa数据科学社区DS面试题库 DS面经

wqtang   2019-01-26 12:32



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