协方差矩阵一定是半正定的吗?
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协方差矩阵的定义为
$$\Sigma = \text{E}((X-\mu)(X-\mu)^T)$$
显然$\Sigma$是对称的,下面只要证明对于任意的非零向量$u$,
$$u\Sigma u^T\geq 0$$
把上面的定义代入,
$$u\Sigma u^T=u\text{E}((X-\mu)(X-\mu)^T)u^T=\text{E}((u(X-\mu))((u(X-\mu))^T))=\text{E}((u(X-\mu))^2)\geq 0$$
一个数的平方的期望当然是非负的
所以协方差是半正定
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