协方差矩阵一定是半正定的吗?

  数学 线性代数 概率论 描述性统计    浏览次数:14726        分享
0

协方差矩阵一定是半正定的吗?

 

一棵海草   2019-01-24 11:56



   2个回答 
6

协方差矩阵的定义为

$$\Sigma = \text{E}((X-\mu)(X-\mu)^T)$$

显然$\Sigma$是对称的,下面只要证明对于任意的非零向量$u$,

$$u\Sigma u^T\geq 0$$

把上面的定义代入,

$$u\Sigma u^T=u\text{E}((X-\mu)(X-\mu)^T)u^T=\text{E}((u(X-\mu))((u(X-\mu))^T))=\text{E}((u(X-\mu))^2)\geq 0$$

一个数的平方的期望当然是非负的

所以协方差是半正定


SofaSofa数据科学社区DS面试题库 DS面经

Marvin_THU   2019-02-03 13:48

明白了,多谢 - 一棵海草   2019-02-08 23:03
2

首先协方差矩阵是对称矩阵。即A = A   

所以XTAX 展开之后的形式是平方和形式,是大于等于0的,所以协方差矩阵是半正定的。

SofaSofa数据科学社区DS面试题库 DS面经

wqtang   2019-01-26 12:32



  相关讨论

协方差矩阵一定是满秩的吗?

怎么理解协方差矩阵和中心化后的协方差矩阵是一样的?

用python计算协方差

协方差分析在什么情况下使用

Fisher Information的统计意义是什么?

今天明天都下雨的概率

柯西分布没有数学期望

对于独立正态变量X, Y ~ N(0,1),X+Y和X-Y是否独立?

概率统计里的iid是什么意思?

超几何概率问题

  随便看看

为什么自然常数e等于阶乘的倒数的和?

plt.show()之后matplotlib图像依然不展示

T检验的effect size是什么?有什么含义吗?

分类特征的目标编码是什么意思?

怎么直观理解ROC AUC的概率统计意义?