柯西（Cauchy）分布，也叫做洛仑兹分布，是个很特殊的分布。标准Cauchy分布的密度函数是

$$\frac{1}{\pi(x^2+1)}.$$

根据期望的定义，

$$\mathbb{E}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\pi(x^2+1)}dx.$$

可惜的是，上面这个积分并不可积尽管密度是对称的。积分不可积，数学期望当然也就不存在了。

题主所谓的n次试验，我们也可以做一做。因为标准柯西分布实际上是两个独立的标准正态分布变量的商，所以这个实验很容易完成。

我用的python，我直接把code复制过来。

>>>from numpy.random import normal; import numpy as np

>>>np.mean(normal(0,1,100)/normal(0,1,100))
1.71624142192124

>>>np.mean(normal(0,1,10000)/normal(0,1,10000))
-3.25718241481268

>>>np.mean(normal(0,1,1000000)/normal(0,1,1000000))
0.892417249736812

>>>np.mean(normal(0,1,100000000)/normal(0,1,100000000))
11.241299247890361

我从100个一直试到了一亿个，都没有看出收敛的迹象。所以题主说的，“总会趋向稳定” 并是不对。