柯西分布没有数学期望

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我知道柯西分布不存在期望,也没有方差。

但是我还是没有想明白。从我的个人主观理解,所谓的数学期望,就是把n次试验数值结果取平均值。如果有一个试验服从某个分布,密度函数是确定的,那这个试验重复若干次以后,试验结果总会趋向于一个稳定的取值,如果试验无数次,那么这个取值就是数学期望。为什么柯西分布会没有均值呢?

 

机器小白   2017-02-26 16:10



   1个回答 
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柯西(Cauchy)分布,也叫做洛仑兹分布,是个很特殊的分布。标准Cauchy分布的密度函数是

$$\frac{1}{\pi(x^2+1)}.$$

根据期望的定义,

$$\mathbb{E}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\pi(x^2+1)}dx.$$

可惜的是,上面这个积分并不可积尽管密度是对称的。积分不可积,数学期望当然也就不存在了。


题主所谓的n次试验,我们也可以做一做。因为标准柯西分布实际上是两个独立的标准正态分布变量的商,所以这个实验很容易完成。

我用的python,我直接把code复制过来。

>>>from numpy.random import normal; import numpy as np
>>>np.mean(normal(0,1,100)/normal(0,1,100))
1.71624142192124
>>>np.mean(normal(0,1,10000)/normal(0,1,10000))
-3.25718241481268
>>>np.mean(normal(0,1,1000000)/normal(0,1,1000000))
0.892417249736812
>>>np.mean(normal(0,1,100000000)/normal(0,1,100000000))
11.241299247890361

我从100个一直试到了一亿个,都没有看出收敛的迹象。所以题主说的,“总会趋向稳定” 并是不对。


起个好名字   2017-03-01 10:55

这个问题曾经也困扰我。最后这个similation很有说服力! - TheOne   2017-03-30 13:31
numpy.random.standard_cauchy()可以给出柯西随机数 - 风云使者   2017-12-10 14:38


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