马尔可夫不等式怎么证明?谢谢!
1个回答
Markov Inequality的表达式为
$$\text{Pr}(X>a)\leq \frac{\text{E}(x)}{a}.$$
它描述了一个非负随机变量大于一个给定值的概率的上限。比如说随机变量$X$的期望是10,那么$X>20$的概率不超过$1/2$。一个著名的应用是不超过五分之一的人口会有超过五倍于人均收入的收入。
证明如下:
假设$X$的密度函数为$f(x)$,那么期望可以写成
\begin{eqnarray*}\text{E}(x)&=&\int_0^\infty xf(x)dx\\&=&\int_0^a xf(x)+\int_a^\infty xf(x)dx\\&\leq&0+a\int_a^\infty f(x)=a\text{Pr}(X>a).\end{eqnarray*}
两边同时除以$a$,我们可以得到$\text{Pr}(X>a)\leq \frac{\text{E}(X)}{a}$.
SofaSofa数据科学社区DS面试题库 DS面经 相关主题
什么函数族满足关于最值函数封闭?
0回答
柯西分布没有数学期望
1回答
对于独立正态变量X, Y ~ N(0,1),X+Y和X-Y是否独立?
2回答
用一个骰子生成1到7的随机数?
5回答
超几何概率问题
1回答
今天明天都下雨的概率
1回答
Fisher Information的统计意义是什么?
1回答
指数家族有哪些常见的概率分布?
2回答
我们谢绝在回答前讲“生动”的故事。
我们谢绝“这么简单,你自己想”、“书上有的,你认真看”这类的回答;如果你认为对方的提问方式或者内容不妥,你可以直接忽略该问题,不用进行任何作答,甚至可以对该问题投反对票。
我们谢绝答非所问。
我们谢绝自己不会、硬要回答。
我们感激每一个用户在编写答案时的努力与付出!