概率论问题 求(X+Y)/(X-Y)的分布

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已知 $X\sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$, $Y\sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$. X与Y独立。求 $(X+Y)/(X-Y)$ 的分布。


 

ssh   2020-10-22 08:14



   1个回答 
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答案:

柯西分布


解释:

独立正态的比值是服从Cauchy分布的。因为$X,Y$是正态分布,所以$X+Y$和$X-Y$显然也是正态分布;此外,其实$X+Y$是和$X-Y$是独立的,证明可参考这里。所以$(X+Y)/(X-Y)$是服从柯西分布的。


数据验证:

我们可以用标准正态分布随机变量$X,Y$和标准柯西分布变量$S$做对比,数据验证一下,就可以发现,的确是柯西分布重合的。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 标准柯西
s = np.random.standard_cauchy(100000)
s = s[(s>-15) & (s<15)]

# 标准正态分布的和 除以 差
x = np.random.normal(size=100000)
y = np.random.normal(size=100000)
z = (x + y) / (x - y)
z = z[(z>-15) & (z<15)]

plt.hist(s, bins=30, color='b')
plt.show()
plt.hist(z, bins=30, color='g')
plt.show()

上图蓝色是$(X+Y)/(X-Y)$,绿色是柯西分布。

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xiaosu   2022-05-08 16:25



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