条件概率证明P(a,b|c) > P(a,b)

这个结论不一定成立，但是当事件$a$和事件$b$独立的时候，结论是成立的。

1）如果事件$a$和$b$独立，那么$P(a,b)=P(a)P(b)$，那么

$$P(a,b|c)=P(a|c) P(b|c)>P(a)P(b)=P(a,b)$$

问题中的结论是成立的。

2）如果事件$a$和$b$不独立，上面的结论就不一定成立。举例：

事件$a=${扔一个骰子，1或者2朝上}

事件$b=${扔一个骰子，2或者3朝上}

事件$c=${扔一个骰子，1或者3朝上}

我们可以计算得到

$$P(a|c)=\frac{1}{2}, P(a)=\frac{1}{3}, P(b|c)=\frac{1}{2}, P(b)=\frac{1}{3}$$

符合条件中的$P(a|c) > P(a)$和$P(b|c) > P(b)$

但是

$$P(a,b|c)=0<P(a,b)=\frac{1}{6}$$

所以这个例子里原问题中的结论不成立。

可以从Bayesian考虑。$P(a,b|c)=P(c|a,b)/P(c)*P(a,b)$, 假如a和b的交集${a,b}$也和c相交，那么$P(c|a,b)/P(c)>1$，所以$P(a,b|c)>P(a,b)$。也就是如果有概率a,b,c同时发生，则证明成立。