条件概率证明P(a,b|c) > P(a,b)

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如果已知条件概率$P(a|c) > P(a)$并且$P(b|c) > P(b)$,可以证明出$P(a,b|c) > P(a,b)$吗?

 

shawn_   2022-03-31 22:59



   2个回答 
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这个结论不一定成立,但是当事件$a$和事件$b$独立的时候,结论是成立的。


1)如果事件$a$和$b$独立,那么$P(a,b)=P(a)P(b)$,那么

$$P(a,b|c)=P(a|c) P(b|c)>P(a)P(b)=P(a,b)$$

问题中的结论是成立的。


2)如果事件$a$和$b$不独立,上面的结论就不一定成立。举例:

事件$a=${扔一个骰子,1或者2朝上}

事件$b=${扔一个骰子,2或者3朝上}

事件$c=${扔一个骰子,1或者3朝上}

我们可以计算得到

$$P(a|c)=\frac{1}{2}, P(a)=\frac{1}{3}, P(b|c)=\frac{1}{2}, P(b)=\frac{1}{3}$$

符合条件中的$P(a|c) > P(a)$和$P(b|c) > P(b)$

但是

$$P(a,b|c)=0<P(a,b)=\frac{1}{6}$$

所以这个例子里原问题中的结论不成立。

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kidd23   2022-04-04 20:03

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可以从Bayesian考虑。$P(a,b|c)=P(c|a,b)/P(c)*P(a,b)$, 假如a和b的交集${a,b}$也和c相交,那么$P(c|a,b)/P(c)>1$,所以$P(a,b|c)>P(a,b)$。也就是如果有概率a,b,c同时发生,则证明成立。

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Zealing   2022-04-09 22:18



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