两个凸函数相加，还是凸函数吗？

是的。

假设$g(x)=f_1(x)+f_2(x)$是两个凸函数的和，因为凸函数的二阶导非负，所以

$$g''(x)=f''_1(x)+f''_2(x)\geq 0$$

$g(x)$就必须是凸函数。

对于任何凸函数$f(x)$，

$$f(\lambda x_1 +(1-\lambda)x_2)\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$$

令$g(x)=f_1(x)+f_2(x)$，其中$f_1(x),f_2(x)$是两个凸函数，那么

$$g(\lambda x_1 +(1-\lambda)x_2)=f_1(\lambda x_1 +(1-\lambda)x_2)+f_2(\lambda x_1 +(1-\lambda)x_2)$$

$$\leq\lambda f_1(x_1)+(1-\lambda)f_1(x_2)+\lambda f_2(x_1)+(1-\lambda)f_2(x_2)$$

$$=\lambda(f_1(x_1)+f_2(x_1))+(1-\lambda)(f_1(x_2)+f_2(x_2))$$

$$=\lambda g(x_1)+(1-\lambda)g(x_2)$$

所以$g(x)$肯定是凸函数。

介绍点资料，在Convex Optimization中，79页3.2，介绍了一些保持convex性质的操作。比如非负数的加权和（Nonnegative weighted sums）。感兴趣的了解下。

看到上面的答案里有人问“两个凹函数相减还是凹函数？”

这个显然不对，应该是“两个凹函数相加还是凹函数”。因为凹函数的二阶导数小于等于0。

两个凸函数相加：一定凸

两个凸函数相乘：不一定凸

两个凸函数相减：不一定凸