两个凸函数相加,还是凸函数吗?

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两个凸函数相加,得到的新的函数,还是凸函数吗?


 

TheTheThe   2018-01-12 07:47



   4个回答 
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是的。

假设$g(x)=f_1(x)+f_2(x)$是两个凸函数的和,因为凸函数的二阶导非负,所以

$$g''(x)=f''_1(x)+f''_2(x)\geq 0$$

$g(x)$就必须是凸函数。


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潘慕星   2018-01-12 08:40

如果是证明的话,还应该考虑二阶导不存在的情况。但是结论都是一样的。 - abuu   2018-01-12 09:25
赞!多问一句,两个凹函数相减还是凹函数? - whs_ita   2018-02-22 14:21
5

对于任何凸函数$f(x)$,

$$f(\lambda x_1 +(1-\lambda)x_2)\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$$

令$g(x)=f_1(x)+f_2(x)$,其中$f_1(x),f_2(x)$是两个凸函数,那么

$$g(\lambda x_1 +(1-\lambda)x_2)=f_1(\lambda x_1 +(1-\lambda)x_2)+f_2(\lambda x_1 +(1-\lambda)x_2)$$

$$\leq\lambda f_1(x_1)+(1-\lambda)f_1(x_2)+\lambda f_2(x_1)+(1-\lambda)f_2(x_2)$$

$$=\lambda(f_1(x_1)+f_2(x_1))+(1-\lambda)(f_1(x_2)+f_2(x_2))$$

$$=\lambda g(x_1)+(1-\lambda)g(x_2)$$

所以$g(x)$肯定是凸函数。


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MangoCoke   2018-06-18 12:48

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介绍点资料,在Convex Optimization中,79页3.2,介绍了一些保持convex性质的操作。比如非负数的加权和(Nonnegative weighted sums)。感兴趣的了解下。

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Zealing   2018-06-19 02:20

2

看到上面的答案里有人问“两个凹函数相减还是凹函数?”

这个显然不对,应该是“两个凹函数相加还是凹函数”。因为凹函数的二阶导数小于等于0。


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五丁大包   2018-03-07 16:42



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