两个凸函数相加,得到的新的函数,还是凸函数吗?
5个回答
是的。
假设$g(x)=f_1(x)+f_2(x)$是两个凸函数的和,因为凸函数的二阶导非负,所以
$$g''(x)=f''_1(x)+f''_2(x)\geq 0$$
$g(x)$就必须是凸函数。
对于任何凸函数$f(x)$,
$$f(\lambda x_1 +(1-\lambda)x_2)\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$$
令$g(x)=f_1(x)+f_2(x)$,其中$f_1(x),f_2(x)$是两个凸函数,那么
$$g(\lambda x_1 +(1-\lambda)x_2)=f_1(\lambda x_1 +(1-\lambda)x_2)+f_2(\lambda x_1 +(1-\lambda)x_2)$$
$$\leq\lambda f_1(x_1)+(1-\lambda)f_1(x_2)+\lambda f_2(x_1)+(1-\lambda)f_2(x_2)$$
$$=\lambda(f_1(x_1)+f_2(x_1))+(1-\lambda)(f_1(x_2)+f_2(x_2))$$
$$=\lambda g(x_1)+(1-\lambda)g(x_2)$$
所以$g(x)$肯定是凸函数。
介绍点资料,在Convex Optimization中,79页3.2,介绍了一些保持convex性质的操作。比如非负数的加权和(Nonnegative weighted sums)。感兴趣的了解下。
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