关于一个矩阵乘积的化简问题

  数学 线性代数 回归分析    浏览次数: 131
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$P$是$n\times 1$的列向量,$X$是$n\times p$的矩阵

下面的这个乘积

$$P^TX(X^TX)^{-1}X^TP$$

能不能化简成

$$P^TP$$

 

vivian_o   2018-10-11 22:38



   1个回答 
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如果 $P$在$X$的column_space中就可以。先做SVD,$X=USV^T$,$rank(X)=r$。$U$是$n\times r$的标准正交基。

$$P^TX(X^TX)^{-1}X^TP$$

$$=P^TUSV^T(VSU^TUSV^T)^{-1}VSU^TP$$

$$=P^TUSV^TV(SS)^{-1}V^TVSU^TP$$

$$=P^TUU^TP$$

如果$P$能够被$U$的列向量表示,$P=UC$纯在$r\times 1$的解$C$,等式就成立。

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Zealing   2018-10-12 02:31

最后一步不是太懂。如果$P$不是$U$中列的线性组合,为什么就不成立呢? - vivian_o   2018-10-12 07:32
比如$P=[1 2 3]^T$,$U=[1 0 0; 0 1 0]^T$, $P^TU=[1 2 0]^T$,此时$U$能表示的空间只有$xy$平面,就像三体中的二向箔,所有经过$U$投影后的点,全部会被拍到$xy$平面内,会把$z$轴上的信息全部抹去,。再想恢复$z$轴上的信息就不可能了。 - Zealing   2018-10-12 08:14
明白了,谢谢你 - vivian_o   2018-10-12 08:39


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